Fulspel bakom kulisserna i Washington DC - Tillerson själv har ännu inte kommenterat ryktena - eller sin framtid. Enligt Vita huset ska utrikesministern på fredagen äta lunch med Trump och försvarsminister Jim Mattis. Och Tillerson ska, som planerat, möta europeiska ministrar i Bryssel på tisdag, enligt EU:s presstjänst.
Det sistnämnda väcker viss uppståndelse efter avskedsryktet, enligt vilket Trump planerar att ersätta Tillerson med den nuvarande CIA-chefen Mike Pompeo. Uppgifterna återgavs av flera medier i vad som framstod som en planerad läcka från Vita huset. Men offentligt sade dess företrädare varken bu eller bä.
- Rex är här, konstaterade Trump kort när han mötte medier - utan att uttrycka något stöd för sin chefsdiplomat.
Även pressekreterare Sarah Sanders var fåordig.
- När presidenten tappar förtroendet för någon så kommer den inte längre att arbeta för honom, sade hon.
Läckorna är sannolikt ett försök att offentligt vanära Tillerson i ljuset av Trumps starka missnöje med honom, resonerar nyhetskanalen CNN med hänvisning till uppgifter från en högt uppsatt källa i Vita huset. Syftet kan vara att få Tillerson att agera själv, det vill säga kasta in handduken.
Justitieminister Jeff Sessions var utsatt för en liknande kampanj i somras, men meddelade då att han stannar på sin post. Han är fortfarande justitieminister.
Det är välkänt att relationen mellan Trump och Tillerson, som tidigare ledde energijätten Exxon Mobil, är ansträngd. De två har vitt skilda temperament och olika åsikt om brännande frågor som Nordkorea, det globala kärnenergiavtalet med Iran och klimatförändringarna. I början av hösten publicerades uppgifter om att Tillerson övervägde att sluta och privat hade kallat presidenten för "en idiot". Och i oktober häcklade Trump Tillerson via Twitter för hans försök att få till en diplomatisk lösning på Nordkoreakrisen.
Effekten har blivit att USA talat med dubbla tungor utrikespolitiskt och att Tillerson ställning internationellt underminerats. Han har också kritiserats för att han inte tillsatt nyckelposter på UD, något som anses ha försvagat organisationen ytterligare. Det sistnämnda verkar dock falla presidenten i smaken.
- Låt mig säga så här, den enda som betyder något är jag, säger Trump i en intervju med tv-kanalen Fox News apropå de tomma rummen på UD.
Det har varit känt en tid att Tillerson skulle till försvarsalliansen Natos utrikesministermöte i Bryssel den 5-6 december. Men på torsdagen ställde han in ett Stockholmsbesök, som var planerat i anslutning till det. Kort därpå bröt avskedsryktena ut. Om de stämmer så ska den blivande utrikesministern Mike Pompeo ersättas som CIA-chef av Arkansassenatorn Tom Cotton.